状態フィードバック（レギュレータ）～２

状態フィードバック（レギュレータ）の実システムへの適用について説明します。

一般のシステムでは、全ての状態をゼロに収束させるよりも、目標状態に保つことが要求される場合が多いため、状態フィードバック（レギュレータ）の実システムへの適用にはもう1段の検討が必要になります。

前走車追従制御への適用の場合

状態フィードバック（レギュレータ）は、制御目標との偏差をゼロにするので、モデルを制御目標との偏差のモデルに変更します。例えば、状態量を目標値(obj)とその偏差(d)に分けて

目標車間距離：$L_{obj}$　目標車間距離との偏差：$L_{d}$
目標車速：$V_{obj}$　目標車速との偏差：$V_{d}$

とすると

車間距離　$L=L_{obj}+L_{d}$
車速　$V=V_{obj}+V_{d}$　　と表現できます。
※加速度　$A$　加速度は目標状態が0なので、そのまま

制御目標との偏差の関係をモデルにすると、加速度と速度の関係は
$$\frac{d V_{d}}{d t}=A \hspace{0.5cm} \frac{d L_{d}}{d t}=-V_{d}$$ 加速指示の応答（Tは時定数、加速指示Acmdに対して加速度Aは一次遅れで追従）
$$\frac{d}{d t} A=-\frac{1}{T} A+\frac{1}{T} A_{cmd}$$ 加速指示Acmdから加速度、速度、車間距離の関係を状態方程式にまとめてモデル化すると
$$\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{c}L_{d} \\ V_{d} \\ A\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{T}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}L_{d} \\ V_{d} \\ A\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \frac{1}{T}\end{array}\right] A_{cmd}$$

連続系で状態フィードバックゲインK を設定してから離散時間モデル化する

状態フィードバックゲインK を設定します。状態フィードバック（レギュレータ）の基本式
$$\frac{dx(t)}{dt}=(A-BK) x(t)$$ において、連続時間系の状態フィードバックが収束するための安定条件は、

特性方程式　$\operatorname{det}(\lambda I-(A-B K))=0$

の固有値 (解) λ の実部が負です。（安定条件はこちら）
今回のシステムは3次なので　$K=\left[k_{1} k_{2} k_{3}\right]$　とすると、特性方程式は
$$\operatorname{det}(\lambda I-(A-BK))$$ $$=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{lll}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{T}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{k_{1}}{T} & \frac{k_{2}}{T} & \frac{k_{3}}{T}\end{array}\right]\right)$$ $$=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ \frac{k_{1}}{T} & \frac{k_{2}}{T} & \lambda+\frac{k_{3}+1}{T}\end{array}\right]\right)$$ $$=\lambda^{3}+\frac{k_{3}+1}{T} \lambda^{2}+\frac{k_{2}}{T} \lambda-\frac{k_{1}}{T}$$ 　　　・・・・①

一方、安定条件は「固有値 (解) λ の実部が負」より $λ=−d$ （dは正の整数）とすると
$$(\lambda+d)^{3}=\lambda^{3}+3d \lambda^{2}+3d^{2} \lambda+d^{3}$$ 　　　・・・・②　※計算を簡単にするために重根にしています

式①と式②の係数比較から

　　$k_{1}=-d^{3}T$    $k_{2}=3d^{2}T$    $k_{3}=3 dT-1$    

これで状態フィードバックのゲインKが設定できました。 
※状態フィードバックゲインの計算は、このモデルでは手計算できましたが、３次以上のモデルの場合は制御設計ツールなどの利用が必要になることが多いと思います。

離散時間モデル化

状態フィードバック（レギュレータ）の基本式
$$\frac{d x(t)}{d t}=(A-B K) x_{(t)}$$ を離散化する際、制御入力は分離して設計しました。
$$A \rightarrow P \quad B \rightarrow Q \quad u=-K x$$ $$x_{(n+1)}=Px_{(n)}+Q\left(-Kx_{(n)}\right)$$
前走車追従制御モデルの状態方程式は $$\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{c}L_{d} \\ V_{d} \\ A\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{T}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}L_{d} \\ V_{d} \\ A\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \frac{1}{T}\end{array}\right] A_{cmd}$$
ですから、$-Kx$ はシステムの入力である加速指示値Acmdです。この状態方程式を離散時間モデル化します。

ダウンロード

こちらから状態フィードバックによる前走車追従制御のEXCELファイルをダウンロードできます。

状態フィードバックのゲインKの計算と離散時間モデル化の処理は状態方程式のシートです。

制御目標との偏差のモデルに変更しているため、符号が違うところはありますが、車両走行モデルの離散化処理とほぼ同じです。

シミュレーション

状態フィードバックによる前走車追従制御の収束性をシミュレーションで確認します。
EXCELファイルのシミュレーションのシートです。

状態フィードバック(レギュレータ)制御は、目標車間距離との偏差(Ld)や目標車速との偏差(Vd)、加速度(A)をゼロに収束させることで以下の追従制御を実現しています。

• 車間距離を初期状態の60[m]から目標車間距離50[m]に短縮
• 走行速度は前走車の速度の15[m/s]を維持し追従走行

$-Kx_{(n)}$をシステムへの加速指示Acmdとして計算し制御入力とする部分（赤枠内の計算）がコントローラに実装する処理になります。

結果

車間距離を初期状態の60[m]から目標車間距離50[m]に短縮し、走行速度は前走車の速度の15[m/s]を維持し追従走行しています。

EXCELファイルの上部のスライドボリュームで固有値 λ を0～-1まで変更できます。
固有値 λ=0 では安定条件から収束しないことが確認できます。

最後までお読みいただき、ありがとうございました。

◎ここまでの制御工学のポイントをまとめています→ リンク

◎最適レギュレータ（LQR）へ → リンク

◎モデル予測制御（MPC）へ → リンク

◎制御工学ではないですが、以下の内容も書いています。

　適応アルゴリズム（適応フィルタ）→ リンク
　カルマンフィルタ　→ リンク
　数理計画（線形計画法 LP）→ リンク
　数理計画（逐次2次計画法 SQP）→ リンク
　リアルタイムカーネル　→ リンク