最適レギュレータ（LQR）

計算ツール：MATLAB Online(BASIC) を使ってみる

MATLABのライセンスを持っていなくても、ありがたいことに月20時間まで最新のMATLABの基本的な機能をONLINEで使うことができます。

そこで、今回はMATLAB Online(BASIC) を活用して、フィードバックゲインを求めてみます。

EXCELファイルのダウンロード

こちら から Excelファイル LQR.xlsm をダウンロードできます。

ダウンロードしたExcelファイル LQR.xlsm には、状態方程式、手動操作、制御なし、PIDフィードバック、LQR、mファイル のシートがあります。

順次説明していきます。

制御対象

今回は制御対象としてバネマスモデルを扱っていきます。
状態方程式のモデル化 で示したモデルは、バネとダンパーの機構に質量Mの物体が搭載され、さらにΔMの荷重が加わった状態です。
今回は振動を吸収抑制するダンパー機構がないケースで考えます。

バネの変位量 $x$、変位速度 $v$、バネの支点の移動速度 $V$、質量Mの質点の移動距離 $L$ とすると

さらに静止平衡状態からの変化の式に置き換えて、静止平衡状態からのバネの変位量を $x$、バネの支点にかかる推力の変化量を $F$ とすると$Mg$が消えて

これを状態方程式にまとめると

$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c} x \\ v \\ L \\ V \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\frac{K}{M} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x \\ v \\ L \\ V \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 0 \\ -\frac{1}{M} \\ 0 \\ \frac{1}{M} \end{array}\right] F$$

EXCELファイルの状態方程式のシートでは、状態方程式を $100[ms]$ で離散化しています。離散化の手法についてはこちら →リンク で説明しています。

質点の質量 $M=1.00 [kg]$
ばね定数 $K=10.00$

とすると、重力下では自然長に対してバネは $0.98[m]$ 縮むので、質点の初期位置を $L0 = -0.98[m]$とし、バネの支点を推力 $F[N]$ 速度 $V[m/s]$ で運動させて、$L = 0[m]$に戻すことを考えます。

まずは動かしてみる　

重力環境下で、バネの上に質量M[kg]の物体が載っている静止平衡状態が初期状態です。そこから、バネの支点を約1m(0.98[m])持ち上げます。

制御なし

Excelファイルの 制御なし のシートでは、推力 F[N] を一定として質点の位置L(ー)を0mに戻した場合の結果です。

推力 F[N] は、+0.98[N]、-0.98[N]をそれぞれ1秒間入力しています。結果、質点は0mを中心に振動しています。

PIDフィードバック

次にExcelファイルの PIDフィードバック のシートですが、やはり制御が必要ってことで、PIDフィードバックでバネの支点の推力 F[N] を制御しています。

P, I, Dの各ゲイン係数を調整してみますが、振動を収束させることはなかなか難しいです。

手動操作 vs 最適レギュレータ（LQR）

次にExcelファイルの 手動操作 のシートです。
手動操作のシートのグラフの上部に、【手動操作】と【LQR】のボタンがあります。

推力 F[N] はグラフの左側のスライドボリュームで、-2.0[N]～2.0[N]の間で入力できます。

【手動操作】のボタンを押してから、グラフ中の1秒から10秒の間で質点の位置Lが0mに戻るようにスライドボリュームを操作します。

振動を抑えながら、オーバーシュートさせないように制御するのは、結構な技量が必要というか、ほぼ無理です。

一方、【LQR】のボタンは、最適レギュレータによる制御結果を表示します。

WOW! 素晴らしい！

最適レギュレータ（LQR）

最適レギュレータ（LQR）といっても、フィードバックゲインの求め方が違うだけで、これまで説明した状態フィードバック（リンク→（１）（２））と制御演算ロジックに違いはありません。

制御入力は、フィードバックゲインと各内部状態の積和値です。
$$F_{n} = - \left[\begin{array}{cccc} k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} \end{array}\right]   \left[\begin{array}{c} x_{n} \\ v_{n} \\ L_{n} \\ V_{n} \end{array}\right]$$

EXCELファイルの LQRのシート で下のように演算しています。フィードバックゲイン $K$ は定数（固定値）なので、オンボードで算出する必要はありません。
制御演算ロジックは、フィードバックゲインと各内部状態の積和演算のみであり、とても簡潔でコントローラへの実装も簡単です。

フィードバックゲインの求め方

最適レギュレータ（LQR）では、過渡応答の評価関数 $J$ を設定し、それが最小になるようにフィードバックゲインを決定しています。
$$J = \int_0^\infty \{x^T Q x + u^T R u\} \; dt$$ 今回はシステムの内部状態が $x, v, L, V$ の４次なので、$Q$ は $4\times4$ 行列となり、その対角値に重み係数を設定します。

バネの変位量 $x$ 、変位速度 $v$ 、バネの支点の移動速度 $V$ 、質点の移動距離 $L$ 全て $0$ が目標であり、特に優先順位はないので重み係数は同じ値(10)にします。

また、$R$ は入力 $F$ の重み係数ですが、最小制御入力での制御が目標です。重み係数は同じ値(10)にします。

MATLAB Onlineを使ってみる

まとめ

今回はMATLAB Onlineを活用して Riccati方程式 を解いて、フィードバックゲインを計算、最適レギュレータを構成してみました。

状態方程式にモデル化できれば構成は非常に簡潔で、PIDフィードバックより制御性も改善できるとあって、全部LQRでよくないですか？とさえ思ってしまいます。

が、、、現実に状態フィードバックを実現するには、システムの内部状態を全て検知できないといけません。全ての内部状態をセンサで検知するにはコストがかかります。オブザーバで推定するには、コントローラにシステムの離散化モデルとオブザーバの演算ロジックを実装をする必要があり、状態フィードバックの制御演算の簡潔さが失われてしまいます。

ということで、世の中は 全部LQRで！ ってことにはなっていないのだと思います。
でも、実務で使えるように準備しておけば、どこかで適用のチャンスがあるかもしれません。

最後までお読みいただきありがとうございました。制御工学の楽しさ WOW! をお伝えできたでしょうか。