状態フィードバック（レギュレータ）～１

システムが２次の場合、状態フィードバックゲインKとベクトルBは
$$K=\left[k_{1} k_{2}\right] \hspace{0.5cm} B=\left[\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2}\end{array}\right] \hspace{0.5cm} BK=\left[\begin{array}{lll}b_{1} k_{1} & b_{1} k_{2} \\ b_{2} k_{1} & b_{2} k_{2}\end{array}\right]$$ このとき特性方程式は

$$\operatorname{det}(\lambda I-(A-BK))=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{ll}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll}b_{1} k_{1} & b_{1} k_{2} \\ b_{2} k_{1} & b_{2} k_{2}\end{array}\right]\right)$$ $$=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{cc}\lambda-a_{11}+b_{1} k_{1} & -a_{12}+b_{1} k_{2} \\ -a_{21}+b_{2} k_{1} & \lambda-a_{22}+b_{2} k_{2}\end{array}\right]\right)$$ $$=\left(\lambda-a_{11}+b_{1} k_{1}\right)\left(\lambda-a_{22}+b_{2} k_{2}\right)-\left(-a_{12}+b_{1} k_{2}\right)\left(-a_{21}+b_{2} k_{1}\right)$$ $$=\lambda^{2}+\left(b_{1} k_{1}+b_{2} k_{2}-a_{11}-a_{22}\right) \lambda+\left(a_{12} b_{2}-a_{22} b_{1}\right) k_{1}+\left(-a_{11} b_{2}+a_{21} b_{1}\right) k_{2}+a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$$ 　　　　・・・・①

固有値 λ の安定条件 より λ = − d  （ d は正の整数・・・固有値 (解) λ の実部が負）とすると
　　 $(\lambda+d)^{2}=\lambda^{2}+2 d \lambda+d^{2}$　・・・・②　※計算を簡単にするために重根にしています

①と②の係数比較の連立式で状態フィードバックゲインK を設定します。

$$b_{1} k_{1}+b_{2} k_{2}=a_{11}+a_{22}+2 d$$ $$\left(a_{12} b_{2}-a_{22} b_{1}\right) k_{1}+\left(-a_{11} b_{2}+a_{21} b_{1}\right) k_{2}=-a_{11} a_{22}+a_{12} a_{21}+d^{2}$$
この連立式を解いて状態フィードバックゲインk1,k2 を求めます。連立式はEXCELで解きます。この段階では連続系の式です。状態フィードバックゲインKは、$\operatorname{det}(\lambda I-(A-BK))=0$ を満たすλの解の実部が負になるように選ぶのがポイントです。

EXCELファイルのダウンロード

こちらから、状態フィードバックのEXCELファイルをダウンロードできます。

状態フィードバックゲインKの連立方程式をEXCELで解く

状態フィードバックゲインKの連立方程式
$$b_{1} k_{1}+b_{2} k_{2}=a_{11}+a_{22}+2 d$$ $$\left(a_{12} b_{2}-a_{22} b_{1}\right) k_{1}+\left(-a_{11} b_{2}+a_{21} b_{1}\right) k_{2}=-a_{11} a_{22}+a_{12} a_{21}+d^{2}$$ これを行列表現に修正します。

$$\left[\begin{array}{cc}b_{1} & b_{2} \\ a_{12} b_{2}-a_{22} b_{1} & -a_{11} b_{2}+a_{21} b_{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}k_{1} \\ k_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a_{11}+a_{22}+2 d \\ -a_{11} a_{22}+a_{12} a_{21}+d^{2}\end{array}\right]$$
EXCELの逆行列(MINVERSE)や行列の積(MMULT)の関数を利用することで連立方程式を解くことができます。
$$\left[\begin{array}{l}k_{1} \\ k_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}b_{1} & b_{2} \\ a_{12} b_{2}-a_{22} b_{1} & -a_{11} b_{2}+a_{21} b_{1}\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{c}a_{11}+a_{22}+2 d \\ -a_{11} a_{22}+a_{12} a_{21}+d^{2}\end{array}\right]$$

EXCELの状態方程式シートでは、上記の連立方程式から状態フィードバックゲインKを算出しています。

状態フィードバックの収束性確認

EXCELのシミュレーション (状態フィードバック)のシートでは、以下の状態方程式の仮想的なシステムに状態フィードバックを適用した結果を示しています。

仮想的なシステムは状態フィードバックがないと発散するシステムです。

状態フィードバック制御演算値–Kxを入力すると内部状態は全て0に収束させることができます。

グラフは λ=-10 の挙動です。特性方程式の固有値λをスライドボリュームで変更し、状態フィードバックゲインを変化させ、収束挙動の違いを確認することができます。

可制御性の確認

状態フィードバックが機能するには、可制御性の条件が必要です。
$$\frac{d x(t)}{d t}=A x(t)+B u(t)$$
において、係数行列A,Bはそれぞれ n×n , n×m の定数行列とすると、システムが制御可能であるための必要十分条件は、
$$M=\left[B A B \cdots \cdot A^{n-1} B\right]$$ $$\operatorname{Rank} M=n \quad(\operatorname{det}(\mathrm{M}) \neq 0)$$

Rankは階段行列にしたときに０ではない行の数（独立した式の数）のことです。Rank M = n (フルランク)であればMは正則行列(det (M)≠ 0 )になります。Excelファイルの可制御性のシートでは可制御性をチェックしています。Excelには行列式（det）を計算する関数MDETERMがあるので、MDETERMによりシステムの可制御性を　Mの行列式≠0　で確認しています。

実システムへの適用にはもう1段の検討が必要

仮想的なシステムで内部状態が全て0に収束することを確認しました。しかし、一般のシステムでは、全ての状態をゼロに収束させるよりも、目標状態に保つことが要求される場合が多いため、状態フィードバック（レギュレータ）の実システムへの適用にはもう1段の検討が必要になります。

次は、状態フィードバック（レギュレータ）の実システムへの適用に向けた検討になります。→ 次へ