株式市場のシステムについて

 

はじめに

あるシステムの時間応答が下記のようになっています。
最初は入力も小さく、出力変化も小さいのですが、指数関数的に出力が増大するとともに、次第に変化量も大きくなっています。出力値が入力側にフィードバックして入力値を増幅（正帰還）しているようです。

このシステムは、▼ のタイミングで、入力がマイナスの場合には、入力値にリミットを掛けるように変更されました。入力値のプラス側には制限はありません。そのため、制限がないプラス側に発散しているように見えます。

これが、何かのシステムの応答であれば、このシステムは状態が不安定なのだと通常は考えると思います。

このグラフは、1986年から最近までの S&P 500 の株価のチャートです。この40年で株価は30倍になっています。

▼ のタイミングは1987年のブラックマンデーで、株価の急落を防ぐ仕組みとして、市場全体の取引を強制的に停止してパニック売りを抑える制度が導入されました。

株式市場を超単純なモデルで表現してみる

現実はもっと複雑ですが、まずは超シンプルな前提で考えてみます。

• \(t\) 時点での株価：\( P_t \) 
• 買い（売り）の資金：\( F_t \)

• 株価の上昇（下降）の関係式（資金\( F_t \)に比例する）

　　\(\Delta P_t = P_{t+1} - P_t = 𝛽⋅F_t \)

　　\(𝛽\) は、買いの時はプラスで株価は上昇、売りの時マイナスで株価は下降する。

　　\(F_t = 𝛼⋅P_t \) より \(P_{t+1}− P_t=𝛽𝛼⋅P_t\)

　　\(P_{t+1}=P_t (1+𝛽𝛼) \)

　ここで \(k=1+𝛽𝛼\) とおくと、\(P_{t+1} =k⋅P_t\)

システムの安定性

システムの安定性を考えてみる。こちら → リンク でも説明しているように、システムの安定条件は、特性方程式の解（固有値）から分析でき、

　離散時間系：固有値の絶対値＜１　です。

\(P_{t+1} =k⋅P_t\) より、\(P_t =P_0⋅\prod_{i=1}^{t} k_i\)  

よって、このシステムの固有値は \(\prod_{i=1}^{t} k_i\) です。

\(k=1+𝛽𝛼\) ですが、\(𝛽\) がマイナス値で大きく売られるケースでは、取引が強制的に停止になるため、\(𝛽\) の発生頻度はプラス値が多くなり、システムの固有値は

\(\prod_{i=1}^{t} k_i  >１\) 

になりそうで、やはりこのシステムは不安定と言えそうです。

EXCELでシミュレーションしてみる

EXCELでシミュレーションしてみました。

ファイルは、こちら → リンク からダウンロードできます。

1986年のS&P500の株価＄250からシミュレーションした結果です。
売り買いの要求 \(𝛽\) は、-1～+1 の値を乱数で発生させています。大きく売られるケースは制限するため、\(𝛽\) がマイナスになる売り側は -0.4 でリミットしています。

茶色のラインがシミュレーションした結果です。何度か暴落もありつつ、株価は指数関数的に上昇していきます。

一方、青のラインは、\(𝛽\) がマイナス値で大きく売られるケースでも、制限せず取引を強制的停止しない場合です。株価が指数関数的に上昇することはありません。

株価とは何でしょうか？

株価とは何でしょうか？
株価が上昇する理由について、

• 世界的に人口が増えているから
• 世界の経済が成長しているから
• 技術革新があるから

といった説明をよく聞きますが、実際には株式市場のシステムが上昇方向にバイアスを持っているからではないでしょうか。

本来、株価は株式配当の累積額に相当するのが妥当ではないかと思います。株式市場のシステムが上昇方向にバイアスを持っていて、その企業の業績とは無関係に株価が自動的に指数関数的に上昇してしまうとなると、株価の正当性、投資の正当性が疑問になってしまいます。